Física
La física es una de las más
antiguas disciplinas académicas, tal vez la más antigua, ya que la astronomía es una de sus disciplinas.
En los últimos dos milenios, la física fue considerada dentro de lo que ahora
llamamos filosofía, química, y ciertas ramas de la matemática y la biología, pero durante la Revolución
Científica en el siglo XVIIsurgió para convertirse en una
ciencia moderna, única por derecho propio. Sin embargo, en algunas esferas como
la física matemática y la química cuántica, los límites de la física siguen
siendo difíciles de distinguir.
El área se orienta al desarrollo
de competencias de una cultura científica, para comprender nuestro mundo
físico, viviente y lograr actuar en él tomando en cuenta su proceso cognitivo,
su protagonismo en el saber y hacer científico y tecnológico, como el conocer,
teorizar, sistematizar y evaluar sus actos dentro de la sociedad. De esta
manera, contribuimos a la conservación y preservación de los recursos, mediante
la toma de conciencia y una participación efectiva y sostenida.
La física es significativa e
influyente, no sólo debido a que los avances en la comprensión a menudo se han
traducido en nuevas tecnologías, sino también a que las nuevas ideas en la
física resuenan con las demás ciencias, las matemáticas y la filosofía.
La física no es sólo una ciencia teórica; es también una
ciencia experimental. Como
toda ciencia, busca que sus conclusiones puedan ser verificables mediante
experimentos y que la teoría pueda realizar predicciones de experimentos
futuros. Dada la amplitud del campo de estudio de la física, así como su
desarrollo histórico en relación a otras ciencias, se la puede considerar la
ciencia fundamental o central, ya que incluye dentro de su campo de estudio a
la química, la biología y la electrónica, además de explicar sus
fenómenos.
La física, en su intento de
describir los fenómenos naturales con exactitud y veracidad, ha llegado a
límites impensables: el conocimiento actual abarca la descripción de partículas
fundamentales microscópicas, elnacimiento de las estrellas en
el universo e incluso conocer con una
gran probabilidad lo que aconteció en los primeros instantes del nacimiento de
nuestro universo, por citar unos pocos campos
Dentro de la física encontramos
ejercicios de tipo :
Cinemática
Se
denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya
trayectoria es una línea recta.
En
la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la
posición del móvil x en el instante t.
Posición
|
x(t)
|
Velocidad
|
v=dxdt
|
Aceleración
|
a=dvdt
|
Dada
la velocidad v(t) calcular el desplazamiento del móvil x-x0 del
móvil entre los instantes t0 y t.
x−x0=∫t0tv⋅dt
Dada
la aceleración a(t) calcular el cambio de velocidad v-v0 que
experimenta el móvil entre los instantes t0 y t
v−v0=∫t0ta⋅dt
Un movimiento rectilíneo uniforme es
aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero.
a=0v=ctex=x0+v⋅t
a=ctev=v0+a⋅tx=x0+v0⋅t+12⋅a⋅t2
Despejando
el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en
la tercera, relacionamos la velocidad v con el
desplazamiento x-x0
v2=v20+2a(x−x0)
Caída
de los cuerpos
Un
cuerpo es lanzado desde el techo de un edificio de altura x0 con
velocidad v0, determinar las ecuaciones del
movimiento, la altura máxima y
el tiempo que tarda el cuerpo en alcanzar el origen.
En
primer lugar, establecemos el origen y la dirección del movimiento, el eje X.
Después, los valores de la posición inicial y los valores y signos de la
velocidad inicial, y de la aceleración, tal como se indica en la figura.
Resultando las siguientes ecuaciones del movimiento.
a=−gv=v0+a⋅tx=x0+v0⋅t+12⋅a⋅t2
Cuando
alcanza la altura máxima, la velocidad del móvil es cero.
El
tiempo que tarda en llegar al suelo, se obtiene a partir de la ecuación de la
posición, poniendo x=0
Problema
1
Un
móvil describe un movimiento rectilíneo. En la figura, se representa su
velocidad en función del tiempo. Sabiendo que en el instante t=0,
parte del origen x=0.
·
Dibuja una gráfica de la aceleración en función del
tiempo
·
Calcula el desplazamiento total del móvil, hasta el
instante t=8s.
·
Escribe la expresión de la posición x del
móvil en función del tiempo t, en los tramos AB y BC.
Solución
Aceleraciones:
pendientes de las rectas (véase la gráfica)
Desplazamiento entre los instantes t=0
y t=8 s: área bajo la curva v-t.
Δx=5+20+17+24+36=102
m
Tramo
AB
x=5+10(t-1)=10t-5
m
Tramo
BC
x=25+10(t−3)+1214(t−3)2
Problema
2
Un automóvil parte del reposo y se mueve con
aceleración constante de 4 m/s2, y viaja durante 4 s. Durante los
próximos 10 s se mueve con movimiento uniforme. Se aplican los frenos y el
automóvil decelera arazón de 8 m/s2 hasta que se detiene.
·
Calcular el desplazamiento del móvil en cada
intervalo y el desplazamiento total.
·
Hacer un gráfico de la velocidad en función del
tiempo.
·
Mostrar que el área comprendida entre la curva y el
eje del tiempo mide el desplazamiento totla del automóvil
Solución
De t=0 a t=4.
a=4 v=4t x=124t2
Para t=4
s, v=16 m/s, x=32 m
De
4 s a 14 s
a=0 v=16 x=32+16(t−4)
Para t=14
s, v=16 m/s, x=192 m
De 14s hasta que se para
a=−8 v=16+(−8)(t−14) x=192+16(t−14)+12(−8)(t−14)2
Se detiene v=0, en el instante t=16
s, la posición del móvil es x=208 m
Gráfica
Área bajo la curva v-t
4⋅162+10⋅16+2⋅162=208
Movimiento
curvilíneo
En la figura se señala el vector
posición r del móvil en el instante t y el vector
velocidad v, cuya dirección es tangente a la trayectoria.
Vector
posición
|
x(t)
|
y(t)
|
Vector
velocidad
|
vx=dxdt
|
vy=dydt
|
Vector
aceleración
|
ax=dvxdt
|
ay=dvydt
|
Podemos considerar un movimiento curvilíneo como la
composición de movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados.
Componentes
tangencial y normal de la aceleración
·
Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.
·
Se calculan las componentes rectangulares de la
velocidad y de la aceleración en dicho instante. Se representan los vectores
velocidad y aceleración en dicho sistema de referencia.
·
Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial
es la misma que la dirección de la velocidad, la dirección normal es perpendicular
a la dirección tangencial.
·
Con la regla y el cartabón se proyecta el vector
aceleración sobre la dirección tangencial y sobre la dirección normal.
·
Se determina el ángulo θ entre el
vector velocidad y el vector aceleración, y se calcula el valor numérico de
dichas componentes: at=a cosθ y an=a sinθ
Tiro
parabólico
En
la figura tenemos un proyectil
que se ha disparado con una
velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ
con la horizontal, las componentes de la velocidad inicial son
v0x=v0cosθv0y=v0sinθ
Como el tiro parabólico es la composición de dos
movimientos:
Las ecuaciones del movimiento de un proyectil bajo
la aceleración constante de la gravedad son:
{ax=0ay=−g {vx=v0⋅cosθvy=v0⋅sinθ−g⋅t {x=v0⋅cosθ⋅ty=y0+v⋅0sinθ⋅t−12g⋅t2
Problema
1
Nos
encontramos en la antigua Suiza, donde Guillermo Tell va a intentar ensartar
con una flecha una manzana dispuesta en la cabeza de su hijo a cierta
distancia d del punto de disparo (la manzana está 5 m por
debajo del punto de lanzamiento de la flecha). La flecha sale con una velocidad
inicial de 50 m/s haciendo una inclinación de 30º con la horizontal y el viento
produce una aceleración horizontal opuesta a su velocidad de 2 m/s2.
·
Calcular la distancia horizontal d a
la que deberá estar el hijo para que pueda ensartar la manzana.
·
Hállese la altura máxima que alcanza la flecha
medida desde el punto de lanzamiento. (g=9.8 m/s2)
Solución
Ecuaciones del movimiento
{ax=-2ay=−9.8 {vx=50cos30+(−2)tvy=50sin30+(−9.8)t ⎧⎩⎨x=50cos30⋅t+12(−2)t2y=50sin30t+12(−9.8)t2
Punto de impacto, x=d, y=-5
m
-5=25t-4.9t2
t=5.29
s, x=201.23 m
Máxima altura, vy=0, 25-9.8t=0
t=2.55
s, y=31.89 m
Problema
2
Un
cuerpo baja deslizando por el plano inclinado de 30º alcanzando al final del
mismo una velocidad de 10 m/s. A continuación, cae siendo arrastrado por un
viento en contra que causa la aceleración horizontal indicada en la figura.
·
Cuánto vale el alcance?
·
Con qué velocidad llega a ese punto?
Solución
Ecuaciones del movimiento
{ax=−0.5ay=−9.8 {vx=10cos30+(−0.5)tvy=−10sin30+(−9.8)t ⎧⎩⎨x=10cos30⋅t+12(−0.5)t2y=200−10sin30t+12(−9.8)t2
Punto de impacto, cuando llega al suelo, y=0
t=5.90
s, x=42.39 m
Velocidad cuando llega al suelo: vx=5.71
m/s, vy=-62.81 m/s
.
Movimiento
circular
Se
define movimiento
circular como aquél cuya
trayectoria es una circunferencia. Una vez situado el origen O de ángulos
describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes.
En el instante t el móvil se
encuentra en el punto P. Su posición angular viene dada por el ángulo θ,
que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ángulos O.
Posición
angular
|
θ(t)
|
Velocidad
angular
|
ω=dθdt
|
Aceleración
angular
|
α=dωdt
|
Dada la velocidad v(t) calcular
el desplazamiento del móvil θ-θ0 del móvil entre
los instantes t0 y t.
θ−θ0=∫t0tω dt
Dada la aceleración a(t)
calcular el cambio de velocidad ω-ω0 que
experimenta el móvil entre los instantes t0 y t
ω−ω0=∫t0tαdt
Movimiento
circular uniforme
Un movimiento circular uniforme es
aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero.
α=0 ω=cte θ=θ0+ω t
Movimiento
circular uniformemente acelerado
Un movimiento circular uniformemente acelerado es
aquél cuya aceleración es constante.
α=cte ω=ω0+α t θ=θ0+ω0t+12α t2
Relación
entre las magnitudes lineales y angulares.
La relación entre las magnitudes angulares y
lineales es la siguiente:
Longitud del
arco s=r·θ
Velocidad, v=ω·r .
La dirección de
la velocidad de un móvil que describe un movimiento circular es tangente a la
trayectoria circular.
La dirección de
la velocidad de un móvil que describe un movimiento circular es tangente a la
trayectoria circular.
Un móvil tiene
aceleración tangencial at=α·r siempre que
cambie el módulo de la velocidad con el tiempo. El sentido de la aceleración
tangencial es el mismo que el de la velocidad si el móvil acelera y es de
sentido contrario, si se frena. Un móvil que describe un movimiento circular
uniforme no tiene aceleración tangencial.
Un móvil que describe
un movimiento circular siempre tiene aceleración normal, an=ω2r ya
que cambia la dirección de la velocidad con el tiempo. La aceleración normal
tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que
describe.
La aceleración del
móvil se obtiene sumando vectorialmente ambas componentes de la aceleración.
Problema1
Un automóvil que está
parado, arranca con una aceleración de 1.5 m/s2. En ese mismo
instante es adelantado por un camión que lleva una velocidad constante de 15
m/s. Calcular la posición de encuentro de ambos vehículos
Solución
Escribimos las ecuaciones del movimiento de cada uno
de los vehículos
x1=15t x2=121.5t2
La posición de
encuentro x1=x2 da lugar a la ecuación
de segundo grado
0.75t2-15t=0
cuyas soluciones
son t=0, y t=20.
El instante de
encuentro es te=20s, y la posición de
encuentro xe=300 m medida desde la salida.
Solución gráfica
·
Si trazamos x1en función del
tiempo t, obtenemos la línea recta de color azul.
·
Si trazamos x2 en
función del tiempo t, obtenemos la curva de color rojo (una
parábola)
El punto de
intersección señala el instante te de encuentro y
la posición xe de encuentro.
Problema
2
Dos proyectiles se
lanzan verticalmente hacia arriba con dos segundos de intervalo. El primero,
con una velocidad inicial de 50 m/s y el segundo con una velocidad inicial de
80 m/s. Calcular el instante y la altura a la que se encuentran
Solución
Cuando el primer
proyectil lleva un tiempo t>2 moviéndose, el segundo proyectil
lleva un tiempo t-2 en el aire. Las ecuaciones del movimiento serán:
x1=50t−129.8t2x2=80(t−2)−129.8(t−2)2
El instante y la
altura de encuentro se pueden calcular resolviendo la ecuación de te=3.62
s, xe=116.8 m
Solución gráfica
·
Si trazamos x1en función del
tiempo t, obtenemos la curva de color azul.
·
Si trazamos x2 en
función del tiempo t, obtenemos la curva de color rojo
El punto de
intersección señala el instante te de encuentro y
la posición xe de encuentro.
Movimiento relativo de traslación uniforme
Cuando se introduce en
clase el movimiento relativo, se empieza el tema resolviendo problemas
sencillos e intuitivos para cuyo planteamiento no se requiere una explicación
detallada del concepto de velocidad relativa.
Ejemplo
1
Un río fluye hacia el
este con velocidad de c=3 m/s. Un bote se dirige hacia el este
(aguas abajo) con velocidad relativa al agua de v=4 m/s.
·
Calcular la velocidad del bote respecto de tierra
cuando el bote se dirige hacia el este (río abajo) y cuando se dirige hacia el
oeste (río arriba).
·
Calcular el tiempo que tarda el bote en
desplazarse d=100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto
de partida O.
·
Cuando el bote navega aguas abajo la velocidad del
bote respecto de tierra es c+v, es decir de 7 m/s.
·
Cuando el bote navega en sentido contrario a la
corriente la velocidad del bote respecto de tierra es c-v, es decir
de -1 m/s.
·
El tiempo que tarda el barquero en hacer el viaje
de ida es t1=d/(v+c)
·
El tiempo que tarda en hacer el viaje de vuelta
es t2=d/(v-c)
El tiempo total es
t=t1+t2=2vdv2−c2
Con los datos del
problema t=800/7=114.3 s.
Leyes
de Newton.
1. Ley
de inercia. Una partícula libre o aislada se mueve con vector velocidad
constante v=cte, o en movimiento rectilíneo y uniforme.
2. Definición
de fuerza. F=dpdt p=mv . Si la masa m es
constante F=ma
3. Principio
de acción y reacción. Cuando dos partículas interactúan, la fuerza que ejerce
una partícula sobre la otra es igual y de sentido contrario a la que ejerce la
segunda sobre la primera.
Composición
y descomposición de fuerzas
La acción simultánea
de varias fuerzas concurrentes es igual a la acción de su resultante
·
La acción simulatánea de F1 y F2 es
equivalente a la acción de su resultante (suma vectorial) R=F1+F2
·
La acción de R es equivalente a la acción
simultánea de sus componenets rectangulares Rx y Ry. R=Rxi+ Ryj
Dinámica
del movimiento circular uniforme
Una partícula describe
un movimiento circular de radio r con velocidad angular
constante ω, o con velocidad constante v=ω·r. La
resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual al producto de
la masa por la aceleración normal an=ω2·r=v2/r.
La aceleración normal tiene dirección radial y apunta hacia el centro de la
circunferencia.
Impulso, momento de
una fuerza, momento angular
Trabajo y energía
Problemas
de dinámica
Problema
1
 |
Dos pesas de 3
y 2 kg están unidas por una cuerda que pasa a través de una polea (ambas de
masa despreciable). Tómese g=10 m/s2. Calcular
·
La aceleración de los pesos
·
La tensión de la cuerda.
|
Solución
Solución
 |
Si T es
la tensión de la cuerda. Las ecuaciones del movimiento de cada uno de los
cuerpos son:
30-T=3a
T-20=2a
a=2 m/s2, T=24
N
|
Problema
2
 |
Hallar, en el
problema de la figura:
·
La aceleración del sistema
·
La tensión de la cuerda.
Tómese g=10
m/s2. Suponer que los cuerpos deslizan sin fricción. La polea
tiene masa despreciable
|
Solución |
Se descompone
la fuerza peso, en la dirección de los planos y perpendicularmente a los
mismos.
Si T es
la tensión de la cuerda. Las ecuaciones del movimiento de cada uno de los
cuerpos son:
50·sin30-T=5a
T-30·sin45=3a
a=0.47 m/s2, T=22.6
N
|
Impulso
Consideremos el
movimiento en una dimensión
La definición de
fuerza es
F=dpdt
Si la masa es
constante, integrando
mv−mv0=∫t0tF⋅dt
|
 |
Supongamos que tenemos
tres llaves que actúan sobre tres tornillos en la forma indicada por las
figuras. Se aplica una fuerza F en el extremo de la llave. Es
fácil contestar a las siguientes preguntas:
·
¿En qué situaciones se enrosca el tornillo?
·
¿En que situaciones se desenrosca el tornillo?
·
¿Cuáles producen el mismo resultado o son
equivalentes?.
En la primera figura,
el tornillo avanza en una dirección perpendicular al plano de la página, y
hacia el lector. El módulo del momento es F·d.
En la segunda figura,
el tornillo avanza en la misma dirección y sentido. El módulo del momento esF/2·(2d)=F·d.
Con una llave más larga estamos en una situación más favorable que con una
llave más corta.
En la tercera figura,
el tornillo avanza en la misma dirección pero en sentido contrario.
·
Un momento se considera positivo, si el tornillo
sale, avanza hacia el lector, la llave gira en sentido contrario al movimiento
de las agujas del reloj.
·
Un momento se considera negativo, si el tornillo
entra, la llave gira en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.
Se denomina momento de
una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector
posición r de la fuerza por el vector fuerza F.
M=r×F
El
vector M tiene
·
Por módulo, M=F·r·sinθ=F·d.
Siendo del brazo de la fuerza (la distancia desde el punto O a la
dirección de la fuerza)
·
Dirección, perpendicular al plano determinado por
la fuerza F y el punto O.
·
Sentido, la aplicación de la regla del sacacorchos
La analogía de la
llave y el tornillo, nos ayuda a entender el significado físico de la magnitud
momento, y a determinar correctamente el módulo, la dirección y el sentido del
momento de una fuerza:
·
El módulo es el producto de la fuerza F por
la longitud d de la llave.M=F·r·sinθ=F·d
·
La dirección, es la del eje del tornillo, eje Z
·
El sentido viene determinado por el avance del
tornillo (hacia dentro, negativo) cuando hacemos girar a la llave.
Ejemplos
 |
Hallar el momento (módulo dirección y sentido) de la fuerza F de
módulo 6 N respecto del origen. El punto P de aplicación de la fuerza se
encuentra a 45 cm del origen.
|
 |
Brazo de la
fuerza, d=0.45·sin20º
M⎧⎩⎨⎪⎪Módulo 6⋅dDirección, eje ZSentido,–⎫⎭⎬⎪⎪=-0.92 kˆ N⋅m
|
Momento
angular
 |
Se define
momento angular L respecto de un punto O como el vector producto
vectorial L=r×p=r×mv
(la dirección del
vector velocidad v es tangente a la trayectoria)
El cálculo del
momento angular es similar al del momento de una fuerza respecto de un punto,
sutituyendo el vector fuerza por el vector momento lineal.
|
Sistemas
aislados
Fext=dPdt P=MVc
Un sistema es aislado
cuando la resultante de las fuerzas exteriores Fext es
nula. El momento lineal total P de las partículas del sistema se
mantiene constante. El centro de masas se mueve con velocidad Vc constante
(movimiento rectilíneo y uniforme)
Principio
de conservación del momento lineal
El principio de
conservación del momento lineal afirma que el momento lineal total del sistema
de partículas permanece constante, si el sistema es aislado, es decir, si no
actúan fuerzas exteriores sobre las partículas del sistema.
m1u1+m2u2=m1v1+m2v2
Donde u1 y u2 son
las velocidades iniciales de las partículas 1 y 2 y v1 y v2 las
velocidades finales de dichas partículas.
Balance
energético de una colisión
12m1u21+12m1u21+Q=12m1v21+12m2v22
La magnitud Q es
la diferencia entre las energías cinéticas después y antes de la
colisión. Q toma el valor de cero en las colisiones
perfectamente elásticas, pero puede ser menor que cero si en el choque se
pierde energía cinética como resultado de la deformación, o puede ser mayor que
cero, si la energía cinética de las partículas después de la colisión es mayor
que la inicial, por ejemplo, en la explosión de una granada o en la
desintegración radiactiva, parte de la energía química o energía nuclear se
convierte en energía cinética de los productos.
Problema
1
Desde el extremo de
una plataforma móvil de 80 kg, inicialmente en reposo, un niño de 40 kg corre
hacia el otro extremo a una velocidad constante de 1 m/s (respecto de la
plataforma). Determinar la velocidad de la plataforma y el sentido de su
movimiento. ¿Qué principio físico aplicas?
Solución
Solución
Sistema aislado
Fext=0 Fext=dPdt P=cte
Principio de
conservación del momento lineal. El momento lineal inicial es cero, (el niño
está en reposo sobre la plataforma).
El niño empieza a
correr con velocidad de 1 m/s respecto a la plataforma, es decir, con velocidad
(1+v) respecto de Tierra, siendo v la velocidad de la
plataforma.
0=40(1+v)+80·v
v=-1/3 m/s
v=-1/3 m/s
El niño se mueve hacia
la derecha y la plataforma se mueve hacia la izquierda
Oscilaciones.
M.A.S.
Una partícula describe
un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X,
estando su posición x dada en función del tiempo t por
la ecuación
x=A·sin(ωt+φ)
·
A es
la amplitud.
·
ω la
frecuencia angular.
·
φ la
fase inicial.
·
Periodo, P=2πω
Condiciones iniciales
Conociendo la posición
inicial x0 y la velocidad inicial v0 en
el instante t=0.
x0=A·sinφ
v0=Aω·cosφ
v0=Aω·cosφ
se determinan la
amplitud A y la fase inicial φ
Energías
Energía potencial
Ep(x)=12mω2x2
Energía cinética
Ek=12mv2
Osciladores
 |
Muelle
elástico
P=2πmk−−−√
|
 |
Péndulo de
torsión
P=2πIK−−−√
|
 |
Péndulo
compuesto
P=2πIomgx−−−−−√
|
Composición
de dos MAS de la misma dirección y frecuencia
·
El primero con amplitud A1,
y fase inicial φ1.
x1=A1sin(ωt+ϕ1)
·
el segundo con amplitud A2,
y fase inicial φ2.
x2=A2sin(ωt+ϕ2)
El resultado es un
M.A.S. de la misma dirección y de la misma frecuencia
x=Asin(ωt+ϕ)
La amplitud y
fase inicial se pueden obtener a partir de la figura, sumando los vectores
rotatorios que representan a cada uno de los dos M.A.S. componentes.
A=A1+A2
Problema
1
Una
partícula oscila con un movimiento armónico simple de tal forma que su desplazamiento
varía de acuerdo con la expresión x=5 cos(2t+π /6) .
Donde x está en cm y t en s. En t=0
encuentre
·
el desplazamiento,
·
su velocidad,
·
su aceleración.
·
Determinar el periodo y la amplitud del movimiento.
Solución
x=5cos(2t+π6)v=dxdt=−10sin(2t+π6)a=dvdt=−20cos(2t+π6)t=0⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x=5cosπ6=53√2 cmv=−10sinπ6=−5 cm/sa=−20cosπ6=−103√ cm/s2
Frecuencia
angular ω=2 rad/s, Periodo P=2π/ω=π s
Amplitud, A=
5 cm.
Movimiento
ondulatorio armónico
Movimiento ondulatorio
armónico .
Ψ(x,t)=Ψ0·sin k(x-vt)
Ψ(x,t)=Ψ0·sin(kx-ωt)
·
Amplitud, Ψ0
·
Velocidad de propagación, v
·
Número de onda, k
·
Longitud de onda, λ=2π/k
·
Periodo, λ=v·P
·
Frecuencia, f=1/P
·
Frecuencia angular, ω=2π/P=kv
·
La onda armónica se propaga a lo largo del eje X,
hacia la derecha (signo -)
Ondas transversales en una cuerda
|
v=Tm−−−√
·
T es la tensión de la
cuerda en N
·
m es la densidad
lineal en kg/m
|
Ondas longitudinales en una barra elástica
|
v=Yρ−−√
·
Y es el módulo de la
elasticidad del material o módulo de Young (expresado en N/m2)
·
ρ es la densidad (expresada
en kg/m3).
|
Intensidad
del movimiento ondulatorio
es la energía
transportada por unidad de área y por unidad de tiempo. Para un movimiento
ondulatorio armónico de frecuencia angular ω y de amplitud Ψ0 que
se propaga en un medio de densidad ρ con velocidad v.
I=v(12ρω2Ψ20)
La unidad de medida es
W/m2.
La intensidad del
movimiento ondulatorio a una distancia r de la fuente emisora
puntual que emite en todas las direcciones de forma isótropa es.
I=P4π r2
Siendo P la
potencia de la fuente emisora.
Interferencia
de las ondas producidas por dos fuentes sincrónicas
 |
·
Interferencia constructiva, r2-r1 =nλ
·
Interferencia destructiva, r2-r1 =(n+½)λ
|
Posición
del centro de masas
dA es
elemento diferencial de área
xcm=∫x⋅dA∫dA ycm=∫y⋅dA∫dA
El principio de
conservación del momento angular afirma que si el momento de las fuerzas
exteriores es cero (lo que no implica que las fuerzas exteriores sean cero, que
sea un sistema aislado), el momento angular total se conserva, es decir,
permanece constante.
dLdt=Mext Mext=0 L=cte
Momento angular de una
partícula
Momento angular de una
partícula es el producto vectorial del vector posición r por el
vector momento lineal mv
L=r×mv
·
Se traza la dirección de la velocidad v y
se dibuja y calcula la distancia d del origen O a dicha recta.
El módulo del momento angular de la partícula es el producto L=mv·d.
·
La dirección del momento angular es perpendicular
al plano XY, es decir, el eje Z
·
El sentido del momento angular se determina
mediante la regla del sacacorchos, o de la analogía con la llave inglesa, la
fuerza sobre el extremo de la llave está representada aquí por el momento
lineal mv.
Momento angular de un
sólido
En general, el vector
momento angular L no tiene la dirección del eje de rotación, es
decir, el vector momento angular no coincide con su proyección Lz a
lo largo del eje de rotación. Cuando coinciden se dice que el eje de rotación
es un eje principal de inercia.
Para estos ejes existe
una relación sencilla entre el momento angular y la velocidad angular, dos
vectores que tienen la misma dirección, la del eje de rotación
L=Iω
Teorema
de Steiner
IO=Icm+Md2
IO es
el momento de inercia del sólido respecto de un eje que pasa por O
Icm es
el momento de inercia respecto de un eje paralelo que pasa por el centro de
masas
d es
la distancia entre ejes
Energía
cinética de rotación
Ek=12Iω2
I es
el momento de inercia del sólido respecto del eje de rotación
ω es
la velocidad angular de rotación
Ecuación
de la dinámica de rotación
Iα=M
I es
el momento de inercia del sólido respecto del eje de rotación
α es
la aceleración angular de rotación
M es
el momento de las fuerzas que actúan sobre el sólido rígido.
Trabajo
y energía
El trabajo total
cuando el sólido gira un ángulo θ es
W=∫0θM⋅dθ=12Iω2−12Iω20
igual a la variación
de energía cinética de rotación
Principio
de conservación de la energía en el movimiento de rotación
Sobre el sólido en
rotación actúa la fuerza conservativa peso en el centro de masas.
La energía potencial
se convierte en energía cinética de rotación y viceversa.
mgh=12Iω2−12Iω20
Movimiento
de rodar sin deslizar
El movimiento general
de un sólido rígido, es la composición de un movimiento de traslación del
centro de masa y de un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por
el centro de masa. En el movimiento de rodar sin deslizar, la rueda se traslada
a la vez que gira.
·
En el movimiento de traslación, todos los puntos
del sólido se mueven en trayectorias paralelas. La velocidad de un punto del
sólido es la misma que la velocidad del centro de masas.
·
En el movimiento de rotación alrededor de un eje
que pasa por el centro de masas, la velocidad de un punto del sólido es
proporcional la radio de la circunferencia que describe, su dirección es
tangente a dicha circunferencia.
En
el movimiento de rodar sin deslizar, existe una relación entre el movimiento de
rotación y traslación. El punto de la rueda que está en contacto en un instante
dado con el suelo tiene velocidad nula. Por tanto, se debe de cumplir que
vc=ω R
La velocidad de
traslación vc es igual a la velocidad de
rotación ωpor el radio de la rueda R.
Sumando vectorialmente
las dos velocidades podemos calcular la velocidad de cualquier punto P, que
dista r del centro de una rueda de radio R, y que
forma un ángulo φ, con la horizontal.
Ecuaciones
del movimiento
·
Movimiento de traslación del centro de masa
F=mac
F es
la resultante de las fuerzas que actúan sobre el sólido
·
Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa
por el centro de masas
M=Icα
M es
el momento de las fuerzas que actúan sobre el sólido
Problema
1
Hallar la posición del
c. m. del triángulo de la figura.
Solución
Ecuación
de la recta (hipotenusa) y=−abx+a
Elemento diferencial
de área, dA=y·dx
xcm=∫x⋅dA∫dA=13b∫x⋅dA=∫x(y⋅dx)=∫0bx(−abx+a)dx=16ab2∫dA=∫y⋅dx=∫0b(−abx+a)dx=12ab
Elemento diferencial
de área, dA=x·dy
ycm=∫y⋅dA∫dA=13a∫y⋅dA=∫y(x⋅dy)=∫0ax(−bay+b)dy=16a2b∫dA=∫x⋅dy=∫0a(−bax+b)dy=12
Ecuación
fundamental de la estática de fluidos
 |
Si p0 es
la presión en la superficie del fluido (la presión atmosférica), la
presión p a la profundidad h es
p=p0+ρ
gh
|
Principio
de Arquímedes
 |
Empuje=ρf·gV
Es el producto
de la densidad del fluido ρf, por la aceleración
de la gravedad g y por el volumen V de la
porción de sólido sumergido.
|
Dinámica
de fluidos
·
Ecuación de continuidad
v1S1=v2S2
·
Ecuación de Bernoulli
p1+ρ gy1+12ρ v21=p2+ρ gy2+12ρ v22
Calor
específico
La cantidad de calor
recibido o cedido por un cuerpo se calcula mediante la siguiente fórmula
Q=m·c·(Tf-Ti)
Donde m es
la masa, c es el calor específico, Ti es
la temperatura inicial y Tf la temperatura final
·
Si Ti>Tf el
cuerpo cede calor Q<0
·
Si Ti<Tf el
cuerpo recibe calor Q>0
Calor
latente
Normalmente, una
sustancia experimenta un cambio de temperatura cuando absorbe o cede calor al
ambiente que le rodea. Sin embargo, cuando una sustancia cambia de fase absorbe
o cede calor sin que se produzca un cambio de su temperatura. El calor Q que
es necesario aportar para que una masa m de cierta sustancia
cambie de fase es igual a
Q=mL
donde L se
denomina calor latente de la sustancia y depende del tipo de cambio de fase.
Transformaciones
termodinámicas
Ecuación de estado de un gas ideal
|
pV=nRT
|
Ecuación de una transformación adiabática
|
pVγ=cte
|
Relación entre los calores específicos
|
cp-cV=R
|
Índice adiabático de un gas ideal
|
γ=cpcV
|
Primer Principio de la Termodinámica
|
ΔU=Q-W
|
Transformación
|
Calor
|
Trabajo
|
Var. Energía
Interna
|
Isócora (v=cte)
|
Q=ncV(TB-TA)
|
0
|
ΔU=ncV(TB-TA)
|
Isóbara (p=cte)
|
Q=ncp(TB-TA)
|
W=p(VB-VA)
|
ΔU=ncV(TB-TA)
|
Isoterma (T=cte)
|
Q=W
|
W=nRTlnVBVA
|
ΔU=0
|
Adibática (Q=0)
|
0
|
W=-ΔU
|
ΔU=ncV(TB-TA)
|
Variación
de entropía
Para calcular las
variaciones de entropía de un proceso real (irreversible) hemos de recordar que
la entropía (como la energía interna) depende solamente del estado del sistema.
Una variación de entropía cuando el sistema pasa de un estado A a otro B de
equilibrio depende solamente del estado inicial A y del estado final B.
Para calcular la
variación de entropía ΔS de un proceso irreversible entre dos
estados de equilibrio, imaginamos un proceso reversible entre el estado inicial
A y el estado final B y calculamos para este proceso
ΔS=∫ABdQT
La variación de
entropía ΔS es siempre positiva para el sistema y sus alrededores
en un proceso irreversible
En un vaso de cobre,
que pesa 1.5 kg, contiene un bloque de hielo de 10 kg a la temperatura de -10
ºC, se inyecta 5 kg de vapor de agua a 100 ºC.
·
Determinar el estado de la mezcla.
·
Determinar la variación de entropía
Calor específico del
cobre 397 J/(kg·K). Calor de fusión del hielo 334 400 J/kg. Calor específico
del agua 4180 J/(kg·K). Calor específico del hielo 2090 J/(kg·K).Calor de
licuefacción del vapor del agua 2 257 200 J/kg.
Solución
Calor necesario para
convertir 10 kg de hielo a -10 ºC en agua a 100 ºC
10·2090·10+10·334
400+10·4180·100=7 733 000
Calor necesario para
elevar la temperatura de 1.5 kg de cobre de -10 ºC a 100 ºC
1.5·397·110=65 505
Total: 7 733 000+65
505=7 798 505 J
Masa de agua
condensada
m=7 798 5052 257 200=3.45 kg
El resto 1.54 kg queda
como vapor.
Entropía
Variación de entropía
cuando el agua cambia de temperatura.
ΔS=∫T1T2dQT=∫T1T2m⋅c⋅dTT=mcln(T2T1)
Variación de entropía
cuando se convierten 10 kg de hielo a -10 ºC en agua a 100 ºC.
10⋅2090⋅ln273263+10⋅334 400273+10⋅4180⋅ln373273
Variación de entropía
cuando se eleva la temperatura de 1.5 kg de cobre de -10 ºC a 100 ºC
1.5⋅397ln373263
Total: 26370 J/K
Variación de entropía
cuando se condensa una masa de 3.45 kg de vapor de agua
−7 798 505373=−20907 J/K
La variación total de
entropía es ΔS=26370-20907=5463 J/K
Campo eléctrico
Campo
eléctrico producido por una carga puntual Q en el punto P
Módulo (cantidad
positiva)
E=14πε0Qr2
Dirección: la recta
que pasa por la carga puntual y el punto P
Sentido: Hacia afuera
si Q es positiva, hacia la carga si Q es
negativa, tal como indican las flechas en la figura.
La unidad de medida
del campo en el S.I. de Unidades es el N/C
El potencial producido
por una carga puntual Q es una magnitud escalar (positiva o
negativa).
V=14π ε0Qr
La unidad de medida
del potencial en el S.I. de unidades es el volt (V).
Sistema
de cargas puntuales
Para hallar el campo
eléctrico, en un punto P, producido por una distribución de cargas puntuales,
se suma vectorialmente el campo producido por cada una de las cargas en dicho
punto P.
EP=E1+E2+E3+...
Para hallar el
potencial en el punto P, producido por una distribución de cargas puntuales, se
suma los potenciales en dicho punto P debidos a cada una de las cargas
VP=V1+V2+V3+...
Distribución
continua de carga
1. Se
calcula el módulo del campo eléctrico producido por un elemento diferencial de
carga dq en el punto P
2. Se
calcula las componentes dEx y dEy de
dicho campo
3. Se
integra para calcular las componenets Ex y Ey del
campo total
Ley
de Gauss
El flujo del campo
eléctrico producido por una distribución de carga a través de una superficie
cerrada que encirra las cargas q1, q2, q3,
.. es
∮E⋅dS=q1+q2+q3+...ε0
Se aplica la ley de
Gauss a las siguientes distribuciones de carga:
 |
·
Distribución de carga con simetría
esférica.
El campo
eléctrico tiene dirección radial, su módulo es constante en todos los puntos
de una superficie esférica concéntrica de radior.
El flujo del
campo eléctrico E a través de dicha superficie es
∮E⋅dS=∮E⋅dS⋅cos0=E∮dS=E⋅4πr2
|
Calculamos la
carga q contenida en una superficie esférica de radio r y
aplicamos la ley de Gauss
∮E⋅dS=qε0 E=q4πε0r2
 |
·
Distribución de carga con simetría
cilíndrica.
El campo
eléctrico tiene dirección radial y perpendicular al eje del cilindro, su
módulo es constante en todos los puntos de una superficie cilíndrica de radio r y
longitud L.
El flujo del
campo eléctrico E a través de dicha superficie es
|
∮E⋅dS=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪superficie lateral ∫E⋅dS=∫E⋅dS⋅cos0=E∫dS=E⋅2πrLbase inferior ∫E⋅dS=0 E⊥S2base superior ∫E⋅dS=0 E⊥S1 ∮E⋅dS=E⋅2πrL
Calculamos la
carga q contenida en una superficie cilíndrica de radio r y
longitud L y aplicamos la ley de Gauss
∮E⋅dS=qε0 E=q2πε0rL
·
Distribución de carga con simetría plana.
El campo eléctrico
tiene dirección perpendicular al plano cargado. Para calcular el flujo tomamos
una superficie cilíndrica cuyo eje es perpendicular al plano cargado y cuya
sección es S.
El flujo del campo
eléctrico E a través de dicha superficie es
∮E⋅dS=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪superficie lateral ∫E⋅dS=0 E⊥dSbase izquierda ∫E⋅dS=E⋅S1=ESbase derecha ∫E⋅dS=E⋅S2=ES ∮E⋅dS=2E⋅S
Calculamos la
carga q contenida en dicha superficie cilíndrica y aplicamos
la ley de Gauss
∮E⋅dS=qε0 E=q2Sε0
Diferencia
de potencial entre dos puntos
VA−VB=∫rArBE⋅dr
que es el área bajo la
curva E-r, tal como se muestra en la figura
Conductores
En el interior de un
conductor el campo eléctrico es nulo, E=0
Condensadores
Se denomina
condensador al dispositivo formado por dos conductores cuyas cargas son iguales
pero de signo opuesto.
La capacidad C de
un condensador se define como el cociente entre la carga Q y
la diferencia de potencia V-V’existente entre ellos.
C=QV−V'
La unidad de capacidad
es el farad o faradio F, aunque se suelen emplear submúltiplos de esta unidad
como el microfaradio µF=10-6 F, y el picofaradio, pF=10-12 F.
Un condensador acumula
una energía U en forma de campo eléctrico.
U=12Q2C
Si introducimos un
dieléctrico en un condensador vacío se observa que la diferencia de potencial
disminuye. La capacidad C del condensador con
dieléctrico es k veces la capacidad del condensador
vacío C0.
C=k·C0
Problema
1
 |
Calcular el
vector campo eléctrico y el potencial del sistema de cargas de la figura en P
y en Q.
Datos: q1=28
10-9 C, q2= -16 10-9 C,
Puntos P(1, 0), y Q(0,1.5) metros
|
Solución
En P
E1=9⋅10928⋅10−932=28 E1=28iˆE2=9⋅10916⋅10−912=144 E2=−144iˆE=E1+E2=−116iˆ N/CVP=V1+V2=9⋅10928⋅10−93+9⋅109−16⋅10−91=−60 V
En Q
E1=9⋅10928⋅10−922+1.52=40.32 E1=E1cosθiˆ+E1sinθjˆE1=32.256iˆ+24.192jˆE2=9⋅10916⋅10−91.52=64 N/C E2=−64jˆE=E1+E2=32.256iˆ−39.808jˆ N/CVQ=V1+V2=9⋅10928⋅10−922+1.52−−−−−−−−√+9⋅109−16⋅10−91.5=4.8 V
Movimiento
en un campo eléctrico
La energía
potencial q(V'-V) se transforma en energía cinética.
Siendo V'-V la diferencia de potencial existente entre dos
puntos distantes x. En un campo eléctrico uniforme V'-V=Ex.
q(V'−V)=12mv2−12mv20
Movimiento
en un campo magnético
Una partícula que se
mueve en un campo magnético experimenta una fuerza Fm=q·v×B.
El resultado de un producto vectorial es un vector de
·
módulo igual al producto de los módulos por el seno
del ángulo comprendido qvB sinθ
·
dirección perpendicular al plano formado por los
vectores velocidad v y campo B.
·
y el sentido se obtiene por la denominada regla del
sacacorchos. Si la carga es positiva el sentido es el del producto
vectorial v×B, como en la figura izquierda. Si la carga es negativa el
sentido de la fuerza es contrario al del producto
vectorial v×B, figura de la derecha
Fuerza
sobre una porción de corriente rectilínea
fm=q·v×B.
es la fuerza sobre un portador de carga. La fuerza sobre todos los portadores
de carga contenidos en una porción de conductor rectilíneo de longitud L es.
Fm=i(uˆt×B)L
Campo
magnético producido por una corriente rectilínea
El módulo del campo
magnético producido por una corriente rectilínea indefinida en un punto P a una
distancia Res
B=μ0i2πR
En la figura, se
muestra la dirección y sentido del campo magnético producido por una corriente
rectilínea indefinida en el punto P, cuando las corrientes entran o salen
perpendicularmente al plano de la pantalla..
La dirección del campo
magnético se dibuja perpendicular al plano determinado por la corriente
rectilínea y el punto, y el sentido se determina por la regla del sacacorchos o
la denominada de la mano derecha.
Campo
magnético producido por un solenoide
Módulo del campo
magnético producido por un solenoide de N espiras y de
longitud L, por el que circula una corriente de intensidad i.
B=μ0iNL
Dirección: el eje del
solenoide
Sentido: regla d ela
mano derecha
Inducción electromagnética
Concepto
de flujo
 |
Se denomina flujo al producto escalar del vector campo por el vector
superficie
Φ=B⋅S=BScosθ
|
 |
Si el campo no es constante o la superficie no es plana, se calcula el
flujo a través de cada elemento dS de superficie, B·dS
El flujo a
través de la superficie S, es
Φ=∫SB⋅dS
|
Inducción
electromagnética. Ley de Faraday
Supongamos que se
coloca un conductor eléctrico en forma de circuito en una región en la que hay
un campo magnético. Si el flujo Φ a través del circuito varía con el tiempo, se
puede observar una corriente en el circuito (mientras el flujo está variando). Midiendo
la fem inducida se encuentra que depende de la rapidez de variación del flujo
del campo magnético con el tiempo.
Vε=−dΦdt
El significado del
signo menos, es decir, el sentido de la corriente inducida (ley de Lenz) se
muestra en la figura mediante una flecha de color azul..
Inducción
mutua
Con frecuencia el
flujo a través de un circuito varía con el tiempo como consecuencia de las
corrientes variables que existen en circuitos cercanos. Se produce una fem inducida
mediante un proceso que se denomina inducción mutua.
Para ilustrar este
hecho, supongamos que tenemos dos circuitos acoplados formados por una espira y
un solenoide, tal como se muestra en la figura.
Supongamos que el
solenoide está formado N espiras, de longitud l y
de sección S recorrido por una corriente de intensidad i1.
Denominaremos circuito primario al solenoide y secundario a la espira.
1. El
campo magnético creado por el solenoide (primario) suponemos que es uniforme y
paralelo a su eje, y cuyo valor hemos obtenido aplicando la ley de Ampère
B1=μ0Ni1l
2. Este
campo atraviesa la sección de la espira (secundario), el flujo de dicho campo a
través de la espira vale.
Φ2=B1⋅S=μ0NSli1
S es
la sección del solenoide, no de la espira, ya que hemos supuesto que fuera del
solenoide no hay campo magnético.
3. Se
denomina coeficiente de inducción mutua M al cociente entre el
flujo a través del secundario Φ2 y la intensidad en el
primario i1.
M=Φ2i1=μ0NSl
El coeficiente de
autoinducción solamente depende de la geometría de los circuitos y de su
posición relativa. La unidad de medida del coeficiente de inducción mutua se
llama henry, abreviadamente H, en honor a Joseph Henry.
f.e.m. inducida
Cuando la intensidad
de la corriente i1 en el primario cambia con el
tiempo, se induce en el secundario una f.e.m.V2 que se
opone a los cambios de flujo.
Aplicamos la ley de
Faraday. derivando el flujo que atraviesa el secundario Φ2=M·i1 respecto
del tiempo
V2=−dΦ2dt=−Mdi1dt
La fem en el
secundario V2 siempre actúa en el sentido que se
opone a la variación del flujo producido por el primario.
Autoinducción
En un circuito existe
una corriente que produce un campo magnético ligado al propio circuito y que
varía cuando lo hace la intensidad. Por tanto, cualquier circuito en el que
exista una corriente variable producirá una fem inducida que denominaremos fuerza
electromotriz autoinducida.
Supongamos un
solenoide de N espiras, de longitud l y de
sección S recorrido por una corriente de intensidad i.
1. El
campo magnético producido por la corriente que recorre el solenoide suponemos
que es uniforme y paralelo a su eje, cuyo valor hemos obtenido aplicando la ley
de Ampère
B=μ0Nil
2. Este
campo atraviesa las espiras el solenoide, el flujo de dicho campo a través de
todas las espiras del solenoide se denomina flujo propio.
Φ=NB⋅S=NBScos0=μ0N2Sli
3. Se
denomina coeficiente de autoinducción L al cociente entre el
flujo propio Φ y la intensidad i.
L=Φi=μ0N2Sl
Del mismo modo que la
capacidad, el coeficiente de autoinducción solamente depende de la geometría
del circuito y de las propiedades magnéticas de la sustancia que se coloque en
el interior del solenoide. La autoinducción de un solenoide de dimensiones dadas
es mucho mayor si tiene un núcleo de hierro que si se encuentra en el vacío
La unidad de medida de
la autoinducción se llama henry, abreviadamente H, en honor a Joseph Henry.
f.e.m. autoinducida
Cuando la intensidad
de la corriente i cambia con el tiempo, se induce una f.e.m.
en el propio circuito (flecha de color rojo) que se opone a los cambios de
flujo, es decir de intensidad.
Derivando respecto al
tiempo la expresión del flujo propio
VL=−dΦdt=−Ldidt
La fem
autoinducida VL siempre actúa en el sentido que se
opone a la variación de corriente.
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