Matematicas

Aritmética

Razones y proporciones

Razón aritmética, geométrica y armónica. Proporción aritmética, geométrica y armónica (discretas y continuas). Media aritmética, media geométrica y media armónica. Propiedades fundamentales. Razones geométricas iguales. Aplicaciones.

Razones y Proporciones - Ejercicios con Solución

Ejercicio 01

Dos pescadores tienen 5 y 4 truchas respectivamente. Se encuentran con un cazador cansado y de hambre, con quien comparten las truchas en partes iguales. El cazador al despedirse, como agradecimiento, les obsequia $ 42, ¿cuánto le corresponde a cada pescador?

A) 30 y 12

B) 26 y 16

C) 28 y 14

D) 21 y 21

E) 70/3 y 56/3

Ejercicio 02

María, Fernanda y Alejandra tienen dinero en cantidades proporcionales a los número a, b y c, respectivamente. María da la tercera parte de lo que tiene a Alejandra; Alejandra da S/.300 a Fernanda, resultando Fernanda y Alejandra con igual cantidad de dinero. Si 3(c-b)=5a, entonces María tenía inicialmente:

A) S/. 200

B) S/. 600

C) S/. 300

D) S/. 500

E) S/. 100

Ejercicio 03

En una serie de tres razones geométricas continuas e iguales, la suma de los consecuentes es 180 y la suma de las tres razones es 9/4. Hallar la suma de los antecedentes.

A) 405

B) 120

C) 135

D) 245

E) 240

<iframe width="560" height="315" src="//www.youtube.com/embed/HsIJ64O70OU" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>

Ejercicio 04

La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 10, 6 y 32. Hallar el mayor de estos dos números.

A) 17

B) 18

C)16

D) 13

E) 15

Ejercicio 05 

Dos obreros realizan una obra por S/.1100, el jornal de uno de ellos es de S/.35 y del otro es S/.20, ¿cuánto recibirá cada uno?

A. S/.550 - 550

B. S/.200 - 900

C. S/.700 - 400

D. S/.600 - 500

E. S/.500 - 600

<iframe width="560" height="315" src="//www.youtube.com/embed/_yUhQxvWagM" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>

Magnitudes Proporcionales

Magnitudes directamente proporcionales e inversamente proporcionales, simples y compuestas. Interpretación grafica. Reparto proporcional (simple y compuesto). Aplicaciones: reparto de utilidades.

Ej: 

8.4 Ejercicios Resueltos 1. Una partícula con velocidad constante recorre 1200 mts en 80 segundos. Determinar a). Qué distancia recorrerá en media hora. b). Qué tiempo tardará en recorrer 1500 mts. Solución a). Disposición de los datos 1200 mts 80 seg. x 1800 seg. ya que las magnitudes son directamente proporcionales, se tiene:  ,  , o sea x=27000. b).  Disposición de los datos 80 seg. 1200 mts x 1500 mts ya que las magnitudes son directamente proporcionales, se tiene:  ,  ; o sea x=100. 2. Una brigada de 8 constructores, en la cual trabajan todos con las misma eficiencia, ejecuta una cierta obra trabajando durante 20 días. En cuánto tiempo podrían ejecutar la misma obra dos de los obreros de la brigada? Solución Disposición de los datos 20 días 8 obreros x 2 obreros ya que las magnitudes son inversamente proporcionales, se tiene:  ,  , o sea x=80 días. 3. Una brigada constructora formada por 9 hombres que trabajan todos con igual eficiencia, ejecutan una obra trabajando durante 28 días a razón de 6 horas diarias. Determinar cuántos días hubieran tenido que trabajar 7 hombres de la brigada para realizar la misma obra, trabajando a razón de 8 horas diarias. En cuánto tiempo podrían ejecutar la misma obra dos de los obreros de la brigada? Solución Disposición de los datos 9 hombres 28 días 6 horas 7 hombres x 8 horas a) Consideremos primero solamente los obreros, y llamemos x1 los días que necesitan los 7 hombres para hacer el trabajo, en el supuesto que las demás magnitudes queden fijas. O sea 9 hombres 28 días 7 hombres x1 días ya que los obreros y los días son magnitudes inversamente proporcionales, se tiene: b) Conocido el número de días x1 que necesitan 7 hombres para hacer la obra trabajando 6 horas diarias, consideremos el número de días que se demorarían haciendo la misma obra, trabajando 8 horas diarias. Solución Sea x2 el número de días de 8 horas. 6 horas x1 días 8 horas x2 ya que las razones son inversas, se tendrá:  ;  días. o sea  días. 4. Hallar el 12 por ciento de 8000 pesos. Solución Si llamamos p al porcentaje, C al capital y B al valor de ese porcentaje, se tendrá: 100 p C B Las magnitudes son directamente proporcionales. En nuestro caso; p = 12, C = 8000, Se trata de hallar B.   o sea, . 5. Hallar de qué número es 48 el 8%. Solución En este caso p = 8, B = 48. Se trata de hallar C.   o sea, . 6. Hallar qué porcentaje es 51 de 170. Solución En este caso; B = 51, C = 170. Se trata de hallar p. O sea , es decir, . p = 30% 7. Hallar de qué número es 408 el 70% más. Solución El 70% más que un número es el 170% de éste. Entonces, en este caso tenemos que B = 408, p = 170. Se trata de hallar C. .    8. Hallar de qué número es 546 el 9% menos. Solución El 9% menos que un número es 100 - 9 = 91% de éste. En este caso; B = 546, p = 91. Se trata de hallar C.   . 9. En un examen de matemáticas se presentaron todos los alumnos de un grupo. El 10% del total obtuvo calificación 2, el 40% calificación 3, el 20% calificación 4 y los 27 restantes, calificación 5. Determinar el número de alumnos que formaban el grupo. Solución Sumamos los porcentajes de los alumnos que obtuvieron menos de 5. Esta suma es el 70% del total del grupo. Entonces, los 27 que obtuvieron calificación 5 representan el 30% del grupo. O sea que se trata de hallar C sabiendo que p = 30, B = 27.   alumnos. 10. Se dispone de dos tipos de acero. El tipo A que contiene un 5% de níquel, y el tipo B, que contiene el 40%. Se desea saber que cantidad de cada tipo será necesario emplear para obtener 70 toneladas de un nuevo tipo de acero que contenga el 30% de níquel. Solución Sea x la cantidad necesaria de toneladas del tipo A. Entonces serán necesarios 70 - x toneladas del tipo B. Tendremos entonces que la cantidad de níquel aportadas por las x toneladas del tipo A será  . Tendremos también, que la cantidad de níquel aportadas por las 70 - x toneladas del tipo B será  . La cantidad de níquel aportada por la mezcla de los tipos A y B será  . O sea:  Por tanto, serán necesarias 20 toneladas del tipo A y 50 toneladas del tipo B. 11. Entre los locales A y B hay almacenados un total de 2000 sacos de azúcar. Si del local A se transporta el 20% al local B, entonces en los dos locales habrá el mismo número de sacos. Cuántos sacos había en cada local. Solución Sea x el número de sacos que había en el local A. Sea 2000 - x el número de sacos que había en el local B. Cuando se transporta el 20% de los sacos del local A al local B, quedan en cada local los  siguientes números de sacos. Regla de Tres Simple y compuesta. Tanto por cuanto. Tanto por millón, tanto por mil, tanto por ciento, tanto por uno. Incrementos y descuentos sucesivos. ej: 1. Si 2 litros de gasolina cuestan $18.20, ¿Cuánto litros se pueden comprar con $50.00? 2 → 18.20 X → 50 X = (50 x 2) / 18.20 = 5.49 lts. 2. Un automóvil recorre 30 km en un cuarto de hora, ¿Cuántos kilómetros recorrerá en una hora y media? 30 → .25 X → 1.5 X = (30 x 1.5)/.25 = 180 Km 3. Una taza de agua eleva su temperatura en .5 °C al estar 45 minutos al sol, ¿Cuántos grados se elevará después de 2 horas? .5 → 45 X → 120 X = (120 x .5) / 45 = 1.33°C 4. Si el 25% de una cantidad es 68, ¿Cuánto es el 43% de esa misma cantidad? 68 → 25 X → 43 X = (68 x 43) / 25 = 116.96 5. ¿Cuál es la cantidad del ejemplo anterior? 68 → 25 X → 100 X = (68 x 100) / 25 = 272 6. Si un niño camina 3 km en una hora y cuarto, ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 horas? 3 → 1.25 X → 3 X = (3 x 3) / 1.25 = 7.2 km 7. Un automóvil recorrió 279 km con 61 lts de combustible, ¿Cuántos kilómetros recorre por litro? 279  →  61 X  → 1 X= (279 x 1) / 61 = 4.57 km 8. Una vagoneta realiza recorre 40 km en 72 minutos, ¿en cuánto tiempo recorrerá a 68 km? 40 → 72 68 → X X = (72 x 68) / 40 = 122.4 minutos 9. En una escuela hay 467 alumnos y el día de hoy faltaron 63. ¿Qué porcentaje de alumnos estuvo ausente? 467 → 100 63 → X X = (63 x 100)/467 = 13.49% 10. Un trabajador gana por jornada de 8 horas $124.50, si su jornada aumenta en 2.5 horas ¿Cuál será su nuevo salario? 8 → 125.50 10.5 → X X = (125.50 x 10.5) / 8 = 164.72

Interés Simple y Compuesto

Elementos principales: capital, tasa, tiempo. Monto generado a interés simple y a interés compuesto. Monto con capitalización continua. Descuento comercial y racional. Letra de cambio. Relación entre descuentos. Intercambio de letras y vencimiento común.

Ej:

Formulas de Interés Simple

I = C * t * i

VF =C (1 + i * t)

C =VF (1 + i * t)-1

VF = C + I

I = interés; VF = valor futuro; C = Capital; i = tasa.

Calcular el interés simple comercial de:

1. $2.500 durante 8 meses al 8%.
2. C = $2.500 t = 8 meses i= 0,08
   I = 2.500 * 8 * 0.08 =$133,33 Respuesta
   12
   I =$60.000 t =63 días i =0,09
   I =60.000 * 63 * 0.09=$ 945 Respuesta
   360
3. $60.000 durante 63 días al 9%.
   C =12.000 t =3 meses i =0,085
   I =12.000 * 3 * 0.085= $ 255 Respuesta
   12
4. $12.000 durante 3 meses al 8½ %.
5. $15.000 al 10% en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre. Del mismo año.

C =$15.000 i =0,10 t =167 días

I =15.000 * 0.10 * 167=$ 695,83 Respuesta

360

Calcular el interés simple comercial de:

1. $5.000 durante 3 años 2 meses 20 días al 0,75% mensual.
2. C = 5.000 i = 0,0075 t =116 meses
   3
   3años *12 meses =36 meses + 2 meses = 38 meses + (20dias * 1 mes)= 116 meses
   1 año 30 días
   I =5.000 * 38,67 * 0,0075 =1.450 Respuesta
   Nota: Fíjese que en este ejercicio la tasa esta expresa de en meses por lo que debe transformarse el tiempo también a meses
3. $8.000 durante 7 meses 15 días al 1,5% mensual.

C = $8000 t =7,5 i = 0,015

7 meses + 15 días * 1 mes =7,5 meses

30 días

I = 8.000 * 7.5 * 0,015=$900. Respuesta

2. Un señor pago $2.500,20 por un pagaré de $2.400, firmado el 10 de abril de 1996 a un con 41/2 %de interés. ¿En qué fecha lo pagó?

VF = 2.500,20

C =2.400

i = 0.045

t =?

VF = C (1 + i * t)

2.500,20 = 2400 (1 + 0,045 * t)

0,04175=0,045 t

t = 0,9277 años Respuesta 10 de marzo de 1997

Un inversionista recibió un pagaré por valor de $120.000 a un interés del 8% el 15 de julio con vencimiento a 150 días. El 200de octubre del mismo maño lo ofrece a otro inversionista que desea ganar el 10%. ¿Cuánto recibe por el pagaré el primer inversionista?

VF =120.000(1 + 0,08 * 150) =124.000

360

124.000(1 + 0,1 * 53)-1= 122.000,93 Respuesta

360

Una persona debe cancelar $14.000 a 3 meses, con el 8% de interés. Si el pagará tiene como cláusula penal que, en caso de mora, se cobre el 10% por el tiempo que exceda al plazo fijado ¿qué cantidad paga el deudor, 70 días después del vencimiento?

VF = 14.000(1 + 0,08 * 3) = 14.280 Valor de vencimiento

12

VF = 14.280(1+0,1 * 70) =14.557,67 respuesta - valor de mora.

360

Una persona descuenta el 15 de mayo un pagaré de $ 20.000 con vencimiento para el 13 de agosto y recibe & 19.559,90. ¿A qué tasa de descuento racional o matemático se le descontó el pagaré?

VF =VP (1+ i * t)

20.000=19.559,90 (1 + i * 90)

360

i =0, 09 è 9% Respuesta

Una persona debe $20.000 con vencimiento a 3 meses y $16.000 con vencimiento a 8 meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimiento a 6 meses y un año, respectivamente. Determine el valor de los nuevos pagarás al 8% de rendimiento (tómese como fecha focal dentro de un año).

Vf1=20.000(1+0,08 * 9)= 21.200

12

Vf2=16.000(1+0,08 * 4)= 16.426,67

12

Deuda = 21.200 + 16.426,67

Deuda = 37.626,67

Pagos

P1 = x (1+0,08 * 6) =1,04 x

12

P2 = x

Pagos =P1 +P2

Pagos =2,04 x

Deuda = Pagos

37.626,67=2,04 x

Valor de los pagarés 18.444,45 cada uno /Respuesta

Nota: En este problema como en todos los similares debe llevarse los valores de las deudas a la fecha focal, en este caso 12 meses, para poder efectuaroperaciones sobre estos valores.

2. Problemas de Descuento

Formulas para Descuento Real

D = VP * t * d

VN= VP + D

VN = VP (1 + d* t)

VP = VN (1 + d * t)-1

Las formulas son iguales a las de interés simple he aquí sus equivalencias.

i = d tanto por ciento/tasa de descuento

I = D descuento

VF =VN valor nominal

C =VP valor presente

Formulas de Descuento Comercial

D = VP * t * d

VN= VP + D

VN = VP (1 + d* t)

VP = VN (1 - d * t)

Determinar el valor líquido de los pagarés, descontados en un banco a las tasas y fechas indicadas a continuación:

a. $20.000 descontados al 10%, 45 días de su vencimiento.

20.000(1- 0.1 * 45)= 19.750 Respuesta

360

b. $18.000 descontados al 9%, 2 meses antes de su vencimiento.

18.000(1-0.09 * 2)=17.730 Respuesta

12

c. $14.000 descontados al 8% el 15 de junio, si su fecha de vencimiento es para el 18 de septiembre del mismo año.

14.000(1-0.08 * 95)=13.704,44 Respuesta

360

d. $10.000 descontados al 10% el 20 de noviembre, si su fecha de vencimiento es para el 14 de febrero del año siguiente.

10.000(1-0.1 * 86)=9.761,11 Respuesta

360

2.2. Alguien vende una propiedad por la que recibe los siguientes valores el 9 de julio de cierto año:

a. $20.00 de contado

b. Un pagaré por $20.000, con vencimiento el 9 de octubre del mismo año.

c. Un pagaré por $30.000, con vencimiento el 9 de diciembre del mismo año.

Si la tasa de descuento bancario en la localidad es del 9%, calcular el valor real de la venta.

a. 20.000 contado

b. 20.000(1-0.09 * 92)=19.540

360

1. 360 Total =20.000 + 19.540 + 28.852,5 = $68.392,50 Respuesta
   Un pagaré de $10.000 se descuentan al 10% y se reciben del banco $9.789. Calcular la fecha de vencimiento del pagaré.
   10.000=9.789 (1+0.1 * t)
   t = 0,21 años
   0,21 años * 12 meses = 2,52 meses Respuesta
   1 año
   El Banco Ganadero descuenta un pagaré por $80.000 al 10%, 90 días antes de su vencimiento, 5 días después lo redescuenta en otro banco a la tasa del 9%. Calcular la utilidad del Banco Ganadero.
   80.000(1-0.1 * 90)=78.000
   360
   80.000(1-0.09 * 75)= 78.500
   360
   Utilidad 78.500-78.000= 500 Respuesta
   ¿Qué tasa de descuento real se aplico a un documento con valor nominal de 700 dólares, si se descontó a 60 días antes de su vencimiento y se recibieron 666,67 dólares netos?
   
   700=666,67(1 + i 60)
   360
   i = 0.30 è 30% Respuesta
   ¿Cuál es el valor nominal de un pagaré por el cual se recibieron 146,52 dólares, si se descontó comercialmente a un tipo de 49%, 85 días antes de su vencimiento?
   
   146,52 = VF (1 - 0,49 * 85)
   360
   VF = 165,68 Respuesta.
   3. Transformación de Tasas
   Método de igualación
   Del 18% efectivo trimestral encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable mensualmente
   (1+ 0,18)4/12 = (1 + ntnm)12/12
   3
   T. nominal trimestral capitalizable mensualmente = 0, 17 è 17,01% R.
   Del 24% nominal anual capitalizable anualmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente.
   (1+ 0,24)1/2 = (1 + ntcs * 2)2/2
   Tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente =5,6 % Respuesta.
   Del 12% nominal anual capitalizable trimestralmente, encuentre la tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente.
   (1+ 0,12)4/4 = (1 + nsct)4/4
   4 2
   Tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente =0,06 è 6% R.
   Del 22% efectivo semestral, encuentre la tasa efectiva bimensual.
   (1+ 0,22)2/6 = (1 + e b)6/6
   Tasa efectiva bimensual = 0,06852 è 6,85% Respuesta.
   Del 30% nominal bimensual capitalizable semestralmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable anualmente.
   (1+ 0,30 * 3)2 = (1 + ntca)
   3
   Tasa nominal trimestral capitalizable anualmente = 0,6525 è 65,25% R.
   Del 52% nominal anual capitalizable anualmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente.
   (1+ 0,52)1/2 = (1 + ntcs * 2)2/2
   Tasa nominal capitalizable semestralmente = 0,1164 è 11,54% Resp.
   4. Problemas de Interés Compuesto
   Formulas de Interés Compuesto:
   M = C (1 + i)n
   C = M (1 + i)-n
   M = monto o también llamado VF; C = capital; i = tasa; n =tiempo
   Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15% con capitalización trimestral, para dispones de 20.000 al cabo de 10 años.
   i = 0,15 efectiva trimestral
   n = 10 años
   M = 20.000
   C =?
   C = 20.000 (1+ 0.15)-10(4)
   4
   C =4.586,75 Respuesta
   ¿Cuántos meses deberá dejarse una póliza de acumulación de $2.000 que paga el 3% anual, para que se convierta en %7.500?
   n =?
   C = 2.000
   i = 0,03
   M =7.500
   7.500 = 2.000 (1 +0,03)n
   ln 15/4 = n ln 1,03
   n = 44,71 años
   44,71 años * 12 meses = 536,52 meses Respuesta.
   1 año
   Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100, para 10 años:
   a. al 5% efectivo anual
   M = 100 (1 + 0,05)10 = 162,89 Respuesta
   b. al 5% capitalizable mensualmente
   M = 100 (1 + 0,05)10(12) =164,20 Respuesta
   12
   c. al 5% capitalizable trimestralmente
   M = 100 (1 + 0,05)10(4) =164,36 Respuesta
   4
2. 30.000(1-0.09 * 153)=28.852,5
3. al 5% capitalizable semestralmente

M = 100 (1 + 0,05)10(2) =164,86 Respuesta

2

Hallar el valor futuro de $20.000 depositados al 8%, capitalizable anualmente durante 10 años 4 meses.

VF = 20.000(1 + 0,08) 10 (4/12) = 44.300,52 Respuesta

Mezcla y Aleación

Mezcla de sustancias de diferente precios, de diferentes concentraciones y de diferentes densidades. Cálculos del precio medio. Aleación de dos o más metales, amalgama. Ley de las aleaciones de oro.

Ej:

Estadística

Definición. Población y muestra. Variables, clasificación. Organización y presentación de datos: elaboración de tablas de frecuencias, gráficos estadísticos (de barras, histogramas, polígono de frecuencias, ojiva, diagrama circular, pictogramas). Medidas de tendencia central: media o promedio aritmético, mediana y moda. Media ponderada, geométrica y armónica. Medidas de dispersión: varianza y desviación estándar. Interpretación de resultados.

Ej:

. Una compañía de seguros considera que el número de vehículos (y) que circulan por una determinada autopista a más de 120 km/h , puede ponerse en función del número de accidentes (x) que ocurren en ella. Durante 5 días obtuvo los siguientes resultados:

Ejercicios estadística
Accidentes xi	5	7	2	1	9
Vehículos yi	15	18	10	8	20

a) Calcula el coeficiente de correlación lineal.

b) Si ayer se produjeron 6 accidentes, ¿cuántos vehículos podemos suponer que circulaban por la autopista a más de 120 km / h?

c) ¿Es buena la predicción?

Construimos una tabla con las columnas necesarias

Vemos las fórmulas que tenemos que aplicar para saber las columnas que necesitamos, a continuación se explica la forma de hacer esto.

2. Las calificaciones de 40 alumnos en psicología evolutiva y en estadística han sido las de la tabla adjunta.

Psicología xi	3	4	5	6	6	7	7	8	10
Estadística yi	2	5	5	6	7	6	7	9	10
Nº de alumnos fi	4	6	12	4	5	4	2	1	2

a) Obtener la ecuación de la recta de regresión de calificaciones de estadística respecto de las calificaciones de psicología.

b) ¿Cuál será la nota esperada en estadística para un alumno que obtuvo un 4,5 en psicología?

Construimos una tabla con las columnas necesarias

3. Las notas obtenidas por 10 alumnos en Matemáticas y en Música son:

Matemáticas xi	6	4	8	5	3,5	7	5	10	5	4
Música yi	6,5	4,5	7	5	4	8	7	10	6	5

•  Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación.

•  ¿Existe correlación entre las dos variables?

•  ¿Cuál será la nota esperada en Música para un alumno que hubiese obtenido un 8,3 en Matemáticas?